基盤数理科学２ (Ｒ０７１)　　基盤数理科学特論２ (Ｒ０７２)

Loop-erased random walk

　Loop-erased random walk (LERW)はランダムウォークのパスから現れる順にループを取り除くことによって得られる （ランダムな）単純曲線モデルである。1980年にLawlerによって導入されて以降、LERWは、uniform spanning tree (UST)を はじめとする統計物理モデルとの関係も見出され、数学および物理の両方面から関心を集めている対象である。特に21世紀に入ってから、 Lawler-Schramm-Wernerらによって、2次元LERWと共形場理論との関係が明確に与えられ、Wernerがフィールズ賞を受賞したことは記憶に新しい。 このように2次元LERWの理解は進んでいる一方で、3次元の場合は、不透明な部分が多く残されている状況である。本講義では、 LERWの歴史を概観し、3次元LERWに対して、何ができているのか（できていないのか）を紹介した後、LERWのステップ数の評価やスケール極限に 関する結果の証明のスケッチ（アイデア）を、できるだけわかりやすく説明していく。

基盤数理科学２ (Ｒ０７３)　　基盤数理科学特論２ (Ｒ０７４)

作用素環入門

　作用素環とは、Hilbert空間の上の有界線形作用素たちの作る環、適当な(位相的)条件を満たすものです。 作用素環論は量子力学、群とその表現、エルゴード理論や結び目の理論をはじめとするトポロジー等とかかわりを持ちながら発展してきました。 この講義では位相群のユニタリ表現の部分表現への分解と、ある種の作用素環(von Neumann環)の構造を例にとって、 作用素環の考え方・雰囲気をつかむことを目標とします。 位相空間, 測度, 線形代数については既知のものとします。 Hilbert空間, Banach空間の基本的性質は知っていると有用ですが、初回に必要事項の解説を行います。

情報数理科学２ (Ｒ０７９)　　情報数理科学特論２ (Ｒ０８０)

ランダムネス入門

　アルゴリズム的ランダムネスの理論では，科学の基本概念であるランダムについて，計算論を使って厳密な定義を与え， その性質を調べる．本講義では，計算論の再帰定理やTuring次数などの概念の復習から始める．その後，MLランダムネスの定義といくつかの性質を見る． 特に，ランダムな列の構成技術に焦点を当てて解説する．

広域数理科学２ (Ｒ０６３)　　広域数理科学特論２ (Ｒ０６４)

四元数多様体の複素部分多様体

四元数多様体及び四元数ケーラー多様体の部分多様体、特に複素部分多様体についての基礎理論を解説する。

広域数理科学２ (Ｒ０７５)　　広域数理科学特論２ (Ｒ０７６)

Gromov-Witten不変量と量子コホモロジー環

　量子コホモロジー環は、元々位相的場の理論の文脈で導入され、数え上げ幾何学やミラー対称性に関わる興味 深い概念である。Gromov-Witten不変量と量子コホモロジー環の数学的な基礎付けは90年代の半ばに完成した。この講義では、 安定曲線のモジュライスタック上の交叉理論に基づく代数幾何的なアプローチによりGromov-Witten不変量の構成を紹介し、 量子コホモロジー環とJ関数の基本的な諸性質を解説したい。

基盤数理科学２ (Ｒ０８９)　　基盤数理科学特論２ (Ｒ０９０)

特異積分と荷重の理論

　最初に特異積分の理論を取り上げる．
ある種の特異積分作用素はsparse（まばら）に位置する立方体上の関数の平均値の和によって支配されることが近頃見出された．これについて説明したい．
最後に荷重付正作用素の有界性を特徴づけるための条件について解説したい．
特異積分の理論は薮田公三先生の『特異積分』，岩波数学叢書，岩波書店に従って説明するつもりです．
残りは資料を準備します．英語の資料になるかもしれません．

基盤数理科学２ (Ｒ０８５)　　基盤数理科学特論２ (Ｒ０８６)

体の超越拡大

　超越拡大の理論の基礎を講義する。
代数多様体の間の支配射が与えられると関数体の間に超越拡大を生じる。
その様子を調べるのが体の超越拡大の理論で、代数幾何学・可換環論の基礎をなす。
本講義では以下のとおり話題を絞って解説を行う。

　１）超越拡大と超越次数
　２）局所テンサー積と代数的非連結性
　３）微分作用素（導分）
　４）微分作用素の拡張
　５）分離拡大 (1)
　６）分離拡大 (2)
　７）準素拡大と正則拡大
　８）正規性と正規射
　９）Grothendieck の整閉包に関する定理
　１０）Luroth の定理

以上の予定は学生諸君の理解に応じて変更される場合がある。
必要な予備知識は学部で学ぶ群・環・体（特にガロア理論）である。
可換環に関して、松村英之「可換環論」（共立出版）（特に３章まで）程度の内容を理解していると理解が容易となるであろう。
評価は出席とレポートによる。

教科書：なし
参考書：松村英之「可換環論」（共立出版）
永田雅宜「可換体論」（裳華房）
藤崎源二郎「体と Galois 理論」 (岩波）
A. Grothendieck, Elements de geometrie algebrique: IV, 2e partie,Publ. IHES 24, 1965.

情報数理科学２ (Ｒ０８１)　　情報数理科学特論２ (Ｒ０８２)

ディジタル署名の安全性

　現代暗号の基本機能は情報の秘匿と認証である。ディジタル署名は情報が改竄されていないことおよび本来の 発信者が偽られていないことを保証する方法であり、現代暗号理論における中心的な研究対象の一つである。 本講座ではディジタル署名が安全であるとはどういう意味か、安全であることを証明するにはどうすればよいかと言った基礎理論から、 量子コンピュータに対しても安全なディジタル署名方式など先進的な内容まで学習し、現代暗号理論への理解を深める。

広域数理科学２ (Ｒ０８７)　　広域数理科学特論２ (Ｒ０８８)

超平面配置入門（と最近のふたつの結果）

　超平面配置(Hyperplane Arrangement)への入門(定義・記号等)と，初期（~2000）に得られた結果の内，重要な結果の証明・解説， ならびに，比較的最近(2001~)の注目すべき結果，特に，吉永正彦の判定法（Edelmen-Reiner予想の解決を含む）と阿部拓郎のDivisibility Theoremの ふたつについて述べる．

参考文献：
[1] Peter Orlik, Hiroaki Terao：
Arrangements of Hyperplanes. (xviii + pp.325) Grundlehren der mathmetischen Wissenschaften 300, Springer-Verlag, Berlin-Heidelberg-New York; ISBN-10: 3540552596 ISBN-13: 978-3540552598, 1992

[2] 寺尾宏明・吉永正彦：数学 論説「超平面配置に関する最近の話題」
数学 第66巻第2号, 2014年春季号, 157-179

情報数理科学特別講義 (Ｒ０６９)　　情報数理科学特論２ (Ｒ０７０)

金融における数理モデリング論

　簡単な内容：金融における数理モデルとその活用について紹介する．
前半では，金融機関のビジネスモデルを概観するとともに，金融リスクを計測するためのモデルを紹介する．
後半では，資産運用に焦点をあて，その基礎を概説するとともに，近年注目を集めている金融市場の高頻度取引を分析した研究についても紹介する．