内容(大まかな予定) 10月5日 休講 10月12日 1 複素関数 1.4 複素関数、解析関数 1.5 Cauchy-Riemannの関係式、調和関数 解析関数であることと、全微分可能+Cauchy-Riemannの関係式を満たすことは同値 解析関数の実部(虚部)は調和関数(C^2をとりあえず認めて) 1.6-1.9 初等関数 指数関数・三角関数・双曲三角関数・対数関数の定義 i^iを求めよう 10月19日 初等関数の残り 指数関数の性質 対数関数の多価性 2 等角写像 解析関数を実平面から実平面への写像と思う 例:1次関数、2乗、反転 領域保存の定理・逆写像の定理(正則性) 解析関数は微分が消えないところで等角(逆も成立するが省略) 応用例:定常温度分布、非圧縮流体の渦なし流れの速度ポテンシャル、電位 10月26日 休講・レポート第1章・第2章の演習問題(11/9回収) 11月9日 3 複素積分、Cauchyの積分定理 線積分とGreenの定理の復習 単連結領域における共役調和関数の存在 有界単連結領域の標準化(お話しのみ)、等角写像と調和関数の合成 複素積分の定義(曲線は区分的にC^1級とする)と基本性質 Cauchyの積分定理 原始関数の存在 11月16日 原始関数を用いた定積分の計算 Cauchyの積分公式 解析関数の導関数 Moreraの定理 Cauchyの不等式 Liouvilleの定理 11月30日 3章の演習 4 複素数列・級数、冪級数 複素数列・級数の収束、Cauchy条件、絶対収束 絶対収束なら収束、したがって実数の級数の判定がほとんどそのまま使える 比較判定法、等比級数、Cauchyの判定法、d'Alembertの判定法 絶対収束なら項の並べかえが可能 冪級数 収束半径 Cauchy-Hadamardの定理 レポート第3章・第4章の演習問題(12/14回収) 12月7日 収束半径・Cauchy-Hadamardの定理(証明) 収束冪級数の連続性・一致の定理 収束冪級数は項別微分可能で導関数は同じ収束半径を持つ 収束冪級数は項別積分可能で原始関数は同じ収束半径を持つ 例:1/(1+z2), arctan z, log z など 訂正: tan (4α-β)=1 (Martinの公式で) 12月14日 5 Taylor級数 解析関数の各点におけるTaylor級数の存在と収束、係数の積分表示・微分表示 解析関数の収束冪級数展開はTaylor級数と一致する exp zのTaylor級数、指数法則 初等関数のTaylor級数:cos z, sin z, cosh z, sinh z, tan z log zのTaylor級数、解析接続 Laurent級数の存在と収束、係数の積分表示 12月21日 一様収束と項別積分(復習) Laurent級数の一意性 特異点 孤立特異点の分類:除去可能特異点(有界)、極(∞に発散)、真性特異点(その他) リーマン球面 代数学の基本定理 1月11日 6 留数定理 留数 留数の計算方法:展開を用いる・単純極の場合の公式2つ・一般に極の場合 留数定理 計算例 留数を用いた定積分の計算 三角関数の有理関数 1月25日 有理関数の広義積分 Fourier積分 Fresnel積分 他の積分路を取る例 2月1日 演習 2月8日 試験