| 徳永研究室の長期的な研究テーマは３つあります： | ・代数多様体のGalois 分岐被覆の構成問題 |
| 各テーマを少し詳しく解説します： | |
| 代数多様体の Galois 分岐被覆の構成問題 | Galois 分岐被覆の構成問題は，代数学の古典的な問題である「Galoisの逆問題： 与えられた有限群と同型なGalois群を もつGalois 拡大を構成せよ」の代数幾何学版であり，つぎのように 定式化できます． 問題：Gは有限群， Y は非特異代数多様体， Bは Y の上の被約な因子とする． Y 上のGalois 分岐被覆で，B に沿って分岐し，そのGalois群が G に同型であるものが 存在するか判定し，存在する場合はその構成法を明示的に与えよ． 存在性に関する問題は YからBを取り除いた空間の基本群に密接に結びついており，これが二つ目のテーマに 結びついています．Galois被覆の構成問題では，整数論の視点が結構大切になってきます．現在は，2次体の整数論のアナロジーや，関数体上の楕円曲線の有理点を利用した Galois被覆の構成について考察しています．． |
| Galois 分岐被覆とトポロジー | 上で，述べたようにGalois分岐被覆の研究はYからBを取りぞいた空間のトポロジーの研究と密接に結びついています． これまでは，Zariski pair の構成や，平面曲線の退化にともなう補空間のトポロジーの 変化を対象に研究を行ってきましたが，これからも「Galois 分岐被覆の構成法の応用」として こうした研究を行う予定です．なお，この方面の研究成果の一部で比較的古いものは，拙著「代数曲線と特異点 第 I 部，特異点の数理第4巻，共立出版」 で解説しています． |
| 計算論的学習理論の視点からみた代数系の研究 | このテーマは，京都大学情報学研究科の山本章博教授と共同で行っているテーマです． 計算論的学習理論のなかの「正例からの学習可能性」にあらわれる概念には， 代数学におけるNoether性と類似なものが登場します．従来，計算論的学習では， いわゆる「形式言語（自由モノイドの部分集合）」が研究対象でしたが，これを 可換環のイデアルに置き換え，代数構造をより意識した研究を行ったらどうか？または， 代数系を「計算論的学習」というあらたな視点から捉えたら何がわかるか？という研究をしています． 現在は，イデアルを より一般化した閉集合族に関して研究中です． |
| 徳永研究室のメンバー |
2012年度は博士前期課程の6名と学部4年生3名です |
