平成21年度後期 幾何学Ｂ
時間割：水曜３限２単位
教室：１１−１０１
以下の2名は，レポートを相当数（目安：小問で10問程度）解いて提出すれば単位認定の可能性がある．
（締め切り：2月10日（水）12時，提出先：研究室ポスト）
06162029
07162044
演習問題（PDFファイル） (last modified:09.12.19)
特に，問6,17,21,31,43を考えてみるのが望ましい．
第1回（10月7日）1形式
全微分
線積分
第2回（10月14日）外積
積分可能条件
p形式
外積
外微分（定義）
第3回（10月21日）外微分・引き戻し
外微分（性質）
微分形式の引き戻し
第4回（10月28日）演習（出席点）
レポート提出
第5回（11月11日）微分形式の積分（出席点）
微分形式の積分
特異直方体に対するストークスの定理（証明は次回）
第6回（11月18日）多様体上の微分形式
多様体の復習
多様体上の微分形式
第7回（11月25日）多様体上の微分形式の積分
向き付け
第8回（12月2日）境界つき多様体におけるストークスの定理
境界つき多様体
境界つき多様体における微分形式の積分
境界つき多様体におけるストークスの定理
第9回（12月9日）ポアンカレの補題
ポアンカレの補題
第10回（12月16日）ド・ラムコホモロジー
ド・ラム複体
ド・ラムコホモロジーの定義
ド・ラムコホモロジーの性質
（0次と連結成分の個数，環）
マイヤー・ヴィエトリス完全系列
第11回（1月13日）ド・ラムコホモロジーのホモトピー不変性（出席点）
n次元球面のド・ラムコホモロジー
ホモトピー
変位レトラクト
第12回（1月20日）
可縮
ブラウアーの不動点定理
第13回（1月27日）（レポート期限）
接束・余接束
テンソル
リーマン計量
シンプレクティック多様体の定義
期末試験（2月3日）
Ａ４サイズ１枚の自筆メモのみ持ち込み可．
演習問題（を改変した問題）を含める．
授業要目
授業方針・テーマ
この講義は「幾何学Ａ」の続きであり、さらに微分可能な多様体の性質を学ぶ。
習得できる知識・能力や授業の目的・ねらい
(無限回)微分可能な多様体上には微分形式とよばれる接空間から実数Rへの写像が考えられる。これを使って、多様体上のドラムコホモロジー論、やストークスの定理を考えることが可能である。幾何学序論、ベクトル解析は特別な場合を扱っていることを知る。
授業計画・内容
（１) 多様体の復習
（２） 微分形式
２−１ 微分形式（differential forms）と2次の微分形式、外積 (exterior product)
２−２ 外微分(exterior derivative)
２−３ 微分形式の間の写像
（３） ドラム複体とドラムコホモロジー群
（４） ストークスの定理
（５） 応用
５−１ コンタクト多様体の定義
５−２ シンプレクティック多様体の定義
５−３ ベクトル束 多様体のリーマン計量
参考書
坪井俊「微分形式」，松本幸夫 「多様体の基礎」、服部晶夫 「微分可能多様体」、松島与三 「多様体入門」
成績評価方法
期末テスト６０％、中間的な試験・レポート・授業参加度４０％。
特記事項
授業科目の関連性など：関連科目 「幾何学Ａ」、「幾何学序論」、「幾何学序論演習」
線形代数、多変数の微積分の一般的な知識、位相空間論は仮定する。
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