[性質]
calibrationを用いて定義されているので、Kahler多様体の解析的部分多様体と同様に、
ホモロジー類の中で体積が最小になる、という性質を持つ。[Harvey-Lawson]
L は、ωを制限すると0であるから超越的なサイクルであり、
Ωのその上での積分から M の周期(の一部)が得られるので、
M の幾何を定める重要な部分多様体である。
代数的なCalabi-Yau多様体(ωも代数的とする)の超越サイクルは
special Lagrangian 多様体のホモロジー類で生成されるか、
という一般化されたHodge予想を考えることができる。
(n=1,2までは正しい。)
L の M 内での変形の接空間は L 上の調和1形式の空間 H(L) と同一視ができ、
局所的にはその全ての方向に実際に変形できる。[McLean]
[ミラー対称性との関わり]
L 上の U(1)束のモジュライに、Hilbert schemeのような代数構造が入り、
ミラー対称性により、ミラー多様体の代数的部分多様体あるいは一般には連接層の
モジュライと同一視が与えられるのでは、という期待
(量子ミラー対称性)がある。
特に、L が 位相的に実 n-トーラスになる場合、
L の局所変形が M の可微分fibration構造を与え、
ファイバー毎のトーラスの双対(T-双対性)がミラー多様体を与えるという、
ミラー多様体の構成原理が期待されている。[Strominger-Yau-Zaslow]
M の幾何的性質は退化ファイバーに集約される。