広域数理科学特論１ (Ｒ０７８)

代数学特別講義１ (Ｒ００７７)　　先端代数学特別講義１ (Ｒ００７８)

有限多重ゼータ値と対称多重ゼータ値入門

　金子とZagierによって提出された「有限多重ゼータ値および対称多重ゼータ値のそれぞれがなす代数の間に同型が存在する」という予想と, それに対するこれまでの研究を概観し, 今後の方向性などについて解説する.

基盤数理科学特論２ (Ｒ０８６)

解析学特別講義２ (Ｒ００８５)　　先端解析学特別講義２ (Ｒ００８６)

楕円型偏微分方程式と変分問題

偏微分方程式の解は、しばしば、適当な関数空間上の汎関数の臨界点として特徴づけることが出来、変分問題の解を探すことによって、方程式の解の存在を示すことが出来る。 このとき、近似解の列の極限として解を得るのであるが、近似解の列から収束する部分列を取り出すこと、つまり、近似解の列の「コンパクト性」を確かめることが重要となる。
この講義では、楕円型偏微分方程式の変分的な扱い、特に、変分法を用いて解の存在を示す方法を解説する。
講義の前半では、Sobolev空間に関する事実や、楕円型偏微分方程式の変分問題としての捉え方を紹介し、後半では、いくつかの具体的な問題を扱い、どのようなときにコンパクト性が失われるのか、また、いかにコンパクト性を回復して解の存在を示すのかを解説する。

情報数理科学特論２ (Ｒ０８０)

応用数理特別講義２ (Ｒ００７９)　　先端応用数理特別講義２ (Ｒ００８０)

準同型暗号とその応用

データの暗号化技術のうち、暗号化した状態のデータについて、暗号化を解除することなしに何らかの演算（加法や乗法など）を行える機能をもつものを準同型暗号という。準同型暗号はその機能から、データの機密性・プライバシーを保ったままデータの分析を行う秘密計算・プライバシー保護データ解析の分野への応用が期待されている。本講義では、準同型暗号の構成や秘密計算への応用、またその基盤となる数学的理論に関する概説を行う。

代数学特別講義２ (Ｒ００８９)　　先端代数学特別講義２ (Ｒ００９０)

平面曲線の埋込位相と巡回被覆に対する分解型不変量

複素射影平面上の（既約とは限らない）代数曲線を平面曲線とよぶ．本講義では，平面曲線の埋込位相の研究において発展してきた巡回被覆に対する分解型不変量について解説する．大まかには下記の内容を予定している．

１．導入
２．平面曲線の組合せ的量
３．ザリスキ対
４．基本群
５．分岐被覆
６．2次被覆における平面曲線の分解型
７．巡回被覆における既約平面曲線の分解数
８．巡回被覆における平面曲線の分解グラフ

※内容は多少変更することもあり得る．

応用数理特別講義２ (Ｒ００８１)　　先端応用数理特別講義２ (Ｒ００８２)

多重ガンマ関数とその整数論への応用

オイラーのガンマ関数は、(不思議と)整数論のいたるところに顔を出す関数である。
バーンズはそれを拡張した多重ガンマ関数を定義し、また、新谷氏、吉田氏らによって、同関数の整数論への応用が研究されてきた。
本講義では整数論の基礎事項の紹介から始め、上記の研究内容や、そのp進類似と呼ばれるものなどを紹介したい。

代数学特別講義２ (Ｒ００７５)　　先端代数学特別講義２ (Ｒ００７６)

正標数の特異点とフロベニウス写像

正標数 p の体上で定義される代数多様体において，環の p 乗準同型により与えられるフロベニウス射という純非分離的な射が存在する．このフロベニウス射を用いて定義される特異点のクラスと標数 0 の双有理代数幾何学に現れる特異点との対応の発見を発端とする幾つかの話題について解説する．

1. 正標数の代数多様体とフロベニウス射に関する基本的事項
2. F-特異点と標数 0 の特異点
3. 正標数特異点のF-爆発: 2次元の場合を中心として
4. 正標数の擬斉次特異点の有限F-表現型

解析学特別講義１ (Ｒ００９１)　　先端解析学特別講義１ (Ｒ００９２)

変動指数ルベーグ空間の基礎

通常の定数指数のルベーグ空間において，
指数を可測関数に置き換えることにより
変動指数ルベーグ空間と呼ばれる新たな関数空間を定義することができます．
この講義では，
モジュラーと呼ばれる積分や特殊な形のノルムに注目し，
定数指数の場合と比較しながら
変動指数ルベーグ空間の基本性質を解説します．
また，変動指数解析において重要となる
ハーディー・リトルウッドの極大作用素の有界性と
変動指数に関する適切な条件との関係についても解説します．

数理科学特別講義２ (Ｒ００６７)　　先端応用数理特別講義２ (Ｒ００６８)

非負曲率を持つ射影多様体の構造について

この集中講義では, (適切な意味で)非負曲率を持つ射影代数多様体を平坦曲率と正曲率に分解する, という類の構造定理について解説します.
講義では, 代数幾何・微分幾何の視点から, (双)正則断面曲率・接束・反標準因子に対するさまざまな非負曲率性を考察し,その類似性や相違点に注目しながらその幾何学を考えます.
準備として特異計量・順像層・葉層構造・局所系などの幾何学的・複素解析的な理論についても解説します.
複素幾何を勉強し始めた(または勉強し始めたい)学生にもわかるように基礎から解説したいと思っているので,少しでも興味のある方には是非参加して頂きたいです.

幾何学特別講義２ (Ｒ００７３)　　先端幾何学特別講義２ (Ｒ００７４)

群上のランダムウォークと調和写像

CAT(0) 空間 Y にランダム・ウォークが与えられた可算群 G が等長的に作用するとき、 G 作用の軌道にそのランダム・ウォークを移植することができる。
この移植されたランダム・ウォークの挙動は、G の作用に関する重要な情報を含んでいる。 最近、G が Y の無限遠境界に固定点をもたず、移植されたランダム・ウォークの rate of escape (drift) が 0 であるとき、Y の中に G の作用で不変な平坦部分空間が存在することを示すことができた。証明には、Gから Y への同変調和写像を用いる。また、この結果の帰結として、G が Y の無限遠境界に固定点をもたないとき、
(i) G の Poisson 境界から Y の無限遠境界への同変写像が存在する、
あるいは
(ii) Y の中に G の作用で不変な平坦部分空間が存在する、
のいずれかが成立することがしたがう。(i) により存在が保証される同変境界写像は、可算群の剛性理論において極めて有用な道具であり、Margulis超剛性をはじめとする、いくつかの興味深い結果を導くのに用いられてきた。

講義では、CAT(0) 空間の基本的な性質および、可算群から CAT(0) 空間への同変調和写像に関する基本事項を外観した後に、上記の結果の証明の概略を解説する予定である。余裕があれば、上記の結果の応用の可能性についても触れたい。

数理科学特別講義２ (Ｒ００６５)　　先端応用数理特別講義２ (Ｒ００６６)

金融工学と金融データサイエンス

本講義ではまず、金融における基本的な問題である投資の価値やリスクの評価を、金融工学を用いてどのように数理的に行うかについて説明する。講義の後半では、近年発展しているデータサイエンス技術の、金融分野における活用方法を紹介する。

応用数理特別講義１ (Ｒ００６１)　　先端応用数理特別講義１ (Ｒ００６２)

ゼロ知識証明の基礎

　現代暗号は有用な数学の応用の一つであり、古典的な情報秘匿に加えて様々な機能を提供している。「ゼロ知識証明」は1980年代に基礎理論が構築され、近年のクラウドやブロックチェーン上の応用で改めてニーズが高まっている暗号技術である。公開された x に対して二項関係 R(x,w)=1 を満たす w を持つ証明者が、その関係が成り立つことをそれ以外の情報を一切明かさずに検証者に納得させることができるため、プライバシー保護や匿名性を必要とする応用において重要な役割を果たす。
　本講義では、ゼロ知識証明の基本的な概念と構成を説明し、いくつかの応用を示す。

解析学特別講義２ (Ｒ００９３)　　先端解析学特別講義２ (Ｒ００９４)

楕円型・放物型方程式の解の凸性

本講義では放物型方程式や楕円型方程式の解のもつ凸性について概説する。まず、Brunn-Minkowski の不等式、 Borell-Brascamp-Lieb の不等式といった凸解析に関わる古典的な不等式について解説を行った後、 Brascamp-Lieb によって発見された熱流による対数凸保存則について証明する。次に、凹最大値原理に基づいた解の冪凹性に関する解析手法について概説し、対数凸保存則の別証明を与える。さらに、近年の研究の進展に沿って、粘性解理論に基づいた放物型方程式による対数凸保存則や放物型冪凹性、熱流による準凸性の崩れ等について解説していく。　

幾何学特別講義２ (Ｒ００７１)　　先端幾何学特別講義２ (Ｒ００７２)

対称空間とカンドル入門

簡単な内容：対称空間およびカンドルについて講義する。対称空間とは各点に点対称を持つ空間であるが，その素朴な定義にも関わらず，数学の様々な分野に登場する基本的かつ重要な概念である。カンドルは，結び目の研究に端を発する概念だが，対称空間から点対称の情報だけを抽出したもの（の一般化）とみなすこともできる。実際，カンドルの研究において，対称空間の理論が効果的に用いられることもある。これらの基礎的な部分を，できるだけ具体例を用いて紹介する。

幾何学特別講義１ (Ｒ００５７)　　先端幾何学特別講義１ (Ｒ００５８)

From differential geometry to tt* geometry

The purpose of this course is to introduce several important topics in geometry, topology, and integrable systems theory. The goal is to reach some important mathematical problems motivated by the physics of conformal field theory. At the same time the course will involve some very classical mathematics, such as special functions and the Stokes Phenomenon. Most of all, the course will demonstrate how different areas of mathematics can interact and lead to interesting problems. No special knowledge will be assumed, just linear algebra, basic topology, and ordinary differential equations. However, some familiarity with differentiable manifolds and Lie groups will be useful. The lectures will be given in Japanese, with English writing on the blackboard.