平成20年度後期 幾何学Ｂ
時間割：水曜３限２単位
教室：１１−１０１
第1回（10月1日）微分形式
全微分
線積分
積分可能条件
第2回（10月8日）外積
接ベクトルと微分形式の双対性
p形式
外積
第3回（10月15日）外微分・引き戻し
（第2回までのレポート提出）
外微分
微分形式の引き戻し
第4回（10月22日）多様体の復習（神島先生代講）（出席点）
第5回（10月29日）微分形式の積分，多様体上の微分形式
（第3回までのレポート提出）
多様体上の微分形式
p形式の積分
（特異直方体に対する）ストークスの定理
第6回（11月5日）ポアンカレの補題
ストークスの定理の証明
ポアンカレの補題
ド・ラムコホモロジーの定義
第7回（11月12日）問題演習（出席点）
第8回（11月19日）ド・ラムコホモロジー
ド・ラム複体
ド・ラムコホモロジーの性質
（0次と連結成分の個数，環）
第9回（11月26日）ド・ラムコホモロジーの性質
ド・ラムコホモロジーのホモトピー不変性
変位レトラクト，可縮
マイヤー・ヴィエトリス完全系列（結果のみ）
第10回（12月3日）多様体上の微分形式の積分
向き付け
第11回（12月10日）
境界つき多様体
境界つき多様体における微分形式の積分
境界つき多様体におけるストークスの定理
第12回（12月17日）
ベクトル束
第13回（1月14日）
テンソル計算
リーマン計量
期末試験（1月21日）
Ａ４サイズ１枚の自筆メモのみ持ち込み可．
演習問題（を改変した問題）を含める．
授業要目
授業方針・テーマ
この講義は「幾何学Ａ」の続きであり、さらに微分可能な多様体の性質を学ぶ。
習得できる知識・能力や授業の目的・ねらい
(無限回)微分可能な多様体上には微分形式とよばれる接空間から実数Rへの写像が考えられる。これを使って、多様体上のドラムコホモロジー論、やストークスの定理を考えることが可能である。幾何学序論、ベクトル解析は特別な場合を扱っていることを知る。
授業計画・内容
（１) 多様体の復習
（２） 微分形式
２−１ 微分形式（differential forms）と2次の微分形式、外積 (exterior product)
２−２ 外微分(exterior derivative)
２−３ 微分形式の間の写像
（３） ドラム複体とドラムコホモロジー群
（４） ストークスの定理
（５） 応用
５−１ コンタクト多様体の定義
５−２ シンプレクティック多様体の定義
５−３ ベクトル束 多様体のリーマン計量
テキスト
松本幸夫 「多様体の基礎」、服部晶夫 「微分可能多様体」、松島与三 「多様体入門」
成績評価方法
期末テスト６０％、中間的な試験・レポート・授業参加度４０％。
特記事項
授業科目の関連性など：関連科目 「幾何学Ａ」、「幾何学序論」、「幾何学序論演習」
線形代数、多変数の微積分の一般的な知識、位相空間論は仮定する。
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