平成13年度後期　線形代数IIb

内容（大まかな予定）
１０月５日
休講

１０月１２日
4.2 線形空間
一次結合
一次独立・一次従属
数ベクトルの場合、一次独立であることとベクトルを並べた行列の階数が個数に等しいことは同値

１０月１９日
4.3 基底と次元
基底
次元
基底の延長

１０月２６日
第４章の演習

１１月９日
ベクトルの個数が次元に一致している場合、基底であることの条件は１つでよい
行列の階数と列ベクトルの一次独立な個数は一致する
基底変換の行列
5.1 線形写像
写像

１１月１６日
線形写像
像と核
次元公式
線形写像の単射・全射
同じ次元の線形空間の間の線形写像については、単射・全射・全単射は同値

１１月３０日
復習
rank f := dim Im f、数ベクトル空間の間の一次写像のとき rank A と同じ
同形写像
次元が同じなら同形。特に有限次元実線形空間は Rnと同形
5.2 表現行列
数ベクトル空間の線形写像は一次写像（ejの像を並べた行列で表される）
線形写像の表現行列（基底の像を行き先の基底の一次結合で表し、係数を並べる）
基底の取り替えで表現行列がどう変化するか
レポート：第５章の問題、８・９・１２を含めて数題。

１２月７日
基底の取り替えで表現行列がどう変化するか（成分計算なしの証明）
線形写像の加法・スカラー倍・合成は線形、それらと表現行列との対応
線形変換
線形変換の基底変換による表現行列の変化
正則変換（略）
6.1 内積
内積の定義、例：標準的内積

１２月１４日
内積の例：続き、閉区間上の連続関数
ノルムの定義、正値性、スカラー倍、シュヴァルツの定理、三角不等式
角度、直交
直交系、正規直交系、正規直交基底(ONB)
Gram-Schmidtの直交化
有限次元内積空間における正規直交基底の存在

１２月２１日
直交化の計算：正規化はあとでまとめてするのがコツ
直交補空間の定義
直交補空間は部分空間である
内積空間は任意の部分空間とその直交補空間とに直和分解する
6.2 直交行列
直交行列の定義、行列式＝±１、例：O(2) （回転・鏡映変換）
直交行列＝長さを保つ＝内積を保つ＝あるONBをONBに移す＝ONBを保つ
随伴行列の定義
ユニタリ行列の定義、行列式は絶対値１の複素数、例
ユニタリ行列＝長さを保つ＝内積を保つ＝あるONBをONBに移す＝ONBを保つ
ＱＲ変換（略・できたらあとで）
エルミート行列の定義
第６章の演習（各自・できたらあとで）

１月１１日
7.1 固有値と固有ベクトル
固有値・固有ベクトル・固有多項式・固有方程式
複素行列において、トレースは固有値の和、行列式は固有値の積
計算方法
固有空間
固有値の重複度≧固有空間の次元＞０
相異なる固有値に対する固有ベクトルは一次独立

１月２５日
7.2 行列の対角化
対角化可能
対角化可能・固有ベクトルによる基底の存在・固有空間の次元の和＝全体の次元
固有値がすべて相異なるなら対角化可能
7.3 行列の三角化
ユニタリ行列で三角化可能
行列の多項式とFrobeniusの定理
Cayley-Hamiltonの定理
演習

２月１日
ベキ零・固有値が０のみ
7.4 実対称行列の対角化
実対称行列の固有値はすべて実数
実対称行列は直交行列により対角化可能
実対称行列に対し、その固有ベクトルによる正規直交基底が存在する
7.5 ２次形式
２次形式の標準形
第７章の演習

２月８日
試験

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