平成13年度前期　幾何学特別講義II（４）・幾何学概論（修）

内容

４月１３日（金）
●I. 微分形式
多様体上の微分形式の定義、
外微分（定義、2乗が0、座標不変性）
閉微分形式、完全微分形式、Poincaréの補題


４月２０日（金）
微分形式の積分、向き付け可能、台、
複素多様体上の微分形式、
向き付け、(p,q)-形式、Dolbeaultの補題
●II. ベクトル束、テンソル代数
接空間、接ベクトル


４月２７日（金）
変換法則、接ベクトル束
ベクトル束、変換関数、同値、複素ベクトル束、正則ベクトル束
双対束、テンソル積
テンソル場、共変ベクトル、反変ベクトル
部分束、直和（Whitney和）


５月１１日（金）
●III. 層
前層、断面、前層の準同型
層、局所定数層、茎、芽
層空間、脆弱前層、層化

圏、類、集合の圏


５月１８日（金）
位相空間の圏、群の圏、加群の圏、部分圏、充満部分圏
図式、圏における図式、可換図式、普遍性と図式の極限/余極限：
直積/直和、pull-back/push-out、入射極限/射影極限、終対象/始対象/零対象
関手、自然変換、圏同値
前層の関手としての記述


５月２５日（金）
●IV. 層係数コホモロジー
M上の加群の（前）層の圏
加法圏、加法的関手、核/余核/像/余像、Abel圏
環に値を取る層上の加群
層における核・像・商・余核、部分層
完全系列
前層と層の完全系列の違い


６月１日（金）
充満埋め込み定理（事実の紹介のみ）
完全関手、左（右）完全関手
Q/Z, 入射加群、Abel群の圏・Abel群の層の圏は入射的対象を十分もつ
入射分解の存在
右導来関手としてのコホモロジー関手の定義


６月８日（金）
右導来関手が入射分解・複体の射への延長の取り方によらないこと
性質：加法的関手、０次は元の関手と同形、入射的対象の高次は０、長完全系列の存在
完全可換図式・連結準同型の一意性（略）


６月１５日（金）
コホモロジー関手の特徴付け
非輪状分解による計算
応用：順像と高次順像

●V. 可微分多様体でのコホモロジー：de Rham の定理
細層
例


６月２２日（金）
柔軟層、fine→soft, injective→flabby→soft→acyclic
Rの細層分解
Poincaréの定理

（６月２９日（金）は休講）

７月６日（金）
特異コホモロジー
de Rhamの定理


７月１８日（水）

Dolbeaultの定理

●VI. 複素多様体でのコホモロジー
コチェイン（双対鎖）、コバウンダリ（双対境界）、コサイクル（双対輪体）
細分、Čechコホモロジー
いくつかの事実
前層の短完全系列から長完全系列ができること
複素直線束とPicard群


７月２７日（金）午後３時
レポート〆切（提出先：理学部棟６６５室の前の封筒）


参考書：
・R. O. Wells, Differential Analysis on Complex Manifolds, GTM 65, Springer-Verlag の II章とIII章
・小平邦彦、複素多様体論、岩波書店 の第3章
・R. Godement, Topologie Algébrique et Théorie des Faisceaux, Hermann, Paris(1958)
・宮西正宜、代数幾何学、数学選書10、裳華房、の I 第2章

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