平成13年度後期　解析概説IIb

内容（大まかな予定）
１０月５日
休講

１０月１２日
１ 複素関数
1.4 複素関数、解析関数
1.5 Cauchy-Riemannの関係式、調和関数
 解析関数であることと、全微分可能＋Cauchy-Riemannの関係式を満たすことは同値
 解析関数の実部（虚部）は調和関数（C^2をとりあえず認めて）
1.6-1.9 初等関数
 指数関数・三角関数・双曲三角関数・対数関数の定義
 i^iを求めよう

１０月１９日
初等関数の残り
 指数関数の性質
 対数関数の多価性
２ 等角写像
 解析関数を実平面から実平面への写像と思う
 例：１次関数、２乗、反転
 領域保存の定理・逆写像の定理（正則性）
 解析関数は微分が消えないところで等角（逆も成立するが省略）
 応用例：定常温度分布、非圧縮流体の渦なし流れの速度ポテンシャル、電位

１０月２６日
休講・レポート第１章・第２章の演習問題（11/9回収)

１１月９日
３ 複素積分、Cauchyの積分定理
 線積分とGreenの定理の復習
 単連結領域における共役調和関数の存在
 有界単連結領域の標準化（お話しのみ）、等角写像と調和関数の合成
 複素積分の定義（曲線は区分的にC^1級とする）と基本性質
 Cauchyの積分定理
 原始関数の存在 

１１月１６日
 原始関数を用いた定積分の計算
 Cauchyの積分公式
 解析関数の導関数
 Moreraの定理
 Cauchyの不等式
 Liouvilleの定理

１１月３０日
３章の演習
４ 複素数列・級数、冪級数
 複素数列・級数の収束、Cauchy条件、絶対収束
 絶対収束なら収束、したがって実数の級数の判定がほとんどそのまま使える
 比較判定法、等比級数、Cauchyの判定法、d'Alembertの判定法
 絶対収束なら項の並べかえが可能
 冪級数
 収束半径
 Cauchy-Hadamardの定理
レポート第３章・第４章の演習問題（12/14回収）

１２月７日
 収束半径・Cauchy-Hadamardの定理（証明）
 収束冪級数の連続性・一致の定理
 収束冪級数は項別微分可能で導関数は同じ収束半径を持つ
 収束冪級数は項別積分可能で原始関数は同じ収束半径を持つ
 例：1/(1+z2), arctan z, log z など
訂正： tan (4α-β)=1 (Martinの公式で)

１２月１４日
５ Taylor級数
 解析関数の各点におけるTaylor級数の存在と収束、係数の積分表示・微分表示
 解析関数の収束冪級数展開はTaylor級数と一致する
 exp zのTaylor級数、指数法則
 初等関数のTaylor級数：cos z, sin z, cosh z, sinh z, tan z
 log zのTaylor級数、解析接続
 Laurent級数の存在と収束、係数の積分表示

１２月２１日
 一様収束と項別積分（復習）
 Laurent級数の一意性
 特異点
 孤立特異点の分類：除去可能特異点（有界）、極（∞に発散）、真性特異点（その他）
 リーマン球面
 代数学の基本定理

１月１１日
６ 留数定理
 留数
 留数の計算方法：展開を用いる・単純極の場合の公式２つ・一般に極の場合
 留数定理
 計算例
留数を用いた定積分の計算
 三角関数の有理関数

１月２５日
 有理関数の広義積分
 Fourier積分
 Fresnel積分
 他の積分路を取る例

２月１日
演習

２月８日
試験

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