平成12年度後期 微分積分IIe（火曜3限）
テキスト：難波 誠 著、数学シリーズ 微分積分学、裳華房
10月3日
●3.4 定積分の計算
置換積分・部分積分の公式
不定積分の場合の同様の公式と、微積分学の基本定理から従う
置換 x = φ(t) の dx =φ'(x)dt は接線の方程式
計算例
・円の面積
πは直径と円周の長さの比で定義され、面積とは無関係であった
・Wallisの公式とπの近似
!! の導入
・xf(sin x) の 0 からπまでの積分の公式
用例は見送った
・ベータ関数 B(p,q) の整数値 (p,q ＞0)
放物線と直線で囲まれた部分の面積が (1/6)|a|(β-α)^3 になることの拡張
・三角関数系の直交関係
計算は自分で
●3.5 広義積分
有界な区間の場合の定義と例
両端が特異点（被積分関数が発散している点）であるときは、極限を独立にとらないといけないことに注意。（取り方によってはいろいろな値に収束してしまうことがある）
x^{-2}, 1/(1-x^2) の 0 から 1 までの積分
10月10日
べき級数の広義積分
有界でない区間の場合の定義と例
コーシーの収束条件、絶対収束
収束の判定条件（1/xと比較）
例：Dirichlet積分、Beta関数
計算練習（提出）
（Γ関数、Euler積分）
10月17日
●3.6 積分の応用
面積
極座標表示
曲線の長さ
例：アステロイド、カージオイド
ここまで
レムニスケート、スターリングの公式（時間による）
10月24日（休講）
レポート
10月31日
●4.1 多変数関数
多変数における点列の収束・関数の極限・連続
領域・（平面の部分集合に対して）有界・閉領域
ボルツァーノ・ワイエルシュトラウスの定理
有界閉集合上の連続関数に対する最大値原理
有界閉領域上の連続関数に対する中間値の定理
有界閉領域上の連続関数は一様連続
●4.2 偏微分と全微分
偏微分・高階の偏微分
C^n級ならn階までの偏微分の順序は交換可能
方向微分（省略）
11月7日
全微分
C^1級なら全微分可能
全微分可能なら偏微分可能かつ連続
●4.3 連鎖律
連鎖律
R^n の領域から R^m への連続写像・C^k 写像
Jacobi行列
11月14日
2変数の平均値の定理・Taylor展開
●4.4 極値と最大・最小問題
極大値・極小値・極値の定義
極値なら1階の微分は0
Hessianによる判定法
計算例
11月21日（休講）
レポート(〜4.4)
11月28日
●4.5 陰関数
陰関数の定理（2変数）
g(x,y)=0 の接線の方程式
逆写像の定理（省略）
●4.6 条件つき最大・最小問題
Lagrangeの未定係数法
計算例
演習（提出可能）
12月5日
●5.1 2重積分と面積
長方形上の２重積分の定義
長方形上の連続関数は可積分
有界閉領域上の２重積分
有界閉領域の面積
縦形閉領域・境界が区分的になめらかな閉領域上の連続関数は可積分
●5.2 反復積分
Fubiniの定理（縦形閉領域）
計算例：球の体積
12月12日
積分の計算法
基本的な公式：線形性、単調性、絶対値、領域に関する加法性
Fubiniの定理の応用：積分の順序交換、回転体の体積
●5.5 線積分とグリーンの定理
Greenの定理とその応用：線積分、Greenの定理、面積の公式
●5.3 重積分における変数変換
重積分の平均値の定理
面積確定有界閉領域による細分の極限
変数変換の公式
12月19日
極座標（平面・空間）・円柱座標の場合の変数変換の公式
●5.6 重積分の応用
剛体の重心
パップス＝ギュルダンの定理
ガンマ関数とベータ関数、その半整数値
●5.4 重積分における広義積分
広義重積分の定義
非負関数の単調収束列上の積分が収束すれば広義可積分
1月16日
●6.1 級数
級数の収束
正項級数の収束判定法：
Cauchyの積分判定法・比較判定法・Cauchyの判定法・d'Alembertの判定法
交代級数とLeipnizの定理
絶対収束と項の順序交換（証明した）・積級数（証明せず）
1月23日
●6.2 関数項級数と一様収束
関数列の極限
一様収束の定義
一様収束する連続関数列の極限は連続
積分と極限、微分と極限の可換性
関数項級数の場合
WeierstrassのM-判定法
●6.3 べき級数
Abelの定理
収束半径、Cauchyによる公式、d'Alembertによる公式
1月30日
試験
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